第21讲：《曲率与方程近似解》内容小结、课件与典型例题与练习

一、弧微分

弧微分：对弧长的近似描述. 等价于切线长度，也等价于割线长度.

即图中的三条线的长度在时，有

从而在与极限相关的计算中，弧长可以近似为切线的长度，或者割线的长度.

弧微分几何意义：弧微分等于自变量的改变量相对应的切线的长.

• 当曲线由可微函数描述时，则到之间的弧长近似为弧微分，有

• 曲线由参数方程, 描述时，

• 当曲线由极坐标方程描述时，则有

二、曲率

曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个量，很好地反映了曲线的弯曲程度.

平均曲率：曲线弧上切线转角大小与对应弧长的比值.

曲率：平均曲率的极限：

当曲线由一元函数 描述时，则有曲率计算公式

• 圆的曲率为圆的半径的倒数
• 直线的曲率等于0.

三、曲率圆

曲线上某点处的曲率圆与曲线，描述曲率圆的方程与描述曲线的函数的关系：

• 曲率圆经过该点(函数值相同)；

• 曲率圆位于曲线凹向的一侧(凹凸性相同)；

• 曲率圆的圆心(曲率中心)在曲线该点处的法线上；

• 圆的半径(曲率半径)为曲线在该点处曲率的倒数(具有相同的曲率)；

• 曲率圆与曲线具有共同的切线(一阶导数值相同)；

• 二阶导数值相同.

四、曲率圆方程求解步骤 

第一步：设曲率圆方程

第二步：借助隐函数求导方法对曲率圆方程两端求关于变量x的一阶、二阶导数(为的函数).

第三步：对由曲率圆方程、一阶、二阶导数等式构成的方程组，代入函数在给定点的变量x的取值，函数、、，解关于圆心坐标，和半径的三元方程，得到圆心坐标和半径取值.

【注】提倡使用以上方法计算曲率圆，如果记得公式，也可以直接由如下公式计算曲率中心坐标和曲率圆半径.

五、渐屈线与渐伸线

曲线的曲率中心形成的轨迹称为原曲线的渐屈线，原曲线称为渐屈线的渐伸线. 渐屈线是曲线微分几何中的概念，等价的描述是一条曲线的渐屈线即是其法线的包络.

渐屈线与渐伸线是一对相对的概念，若曲线A是曲线B的渐屈线，则曲线B即为曲线A的渐伸线. 每条曲线的渐屈线唯一确定，但却可以有无穷多条渐伸线.

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